如此掷骰子公平吗？

前两天中午吃饭，一个同事出了一道很有意思的概率问题，题目是这样的：有一种赌局，庄家拿了两个骰子出来，每次由参赌者随意掷这两个骰子，如果同时掷出两个6，那么庄家输；如果连掷18手，都没有同时掷出两个6来，参赌者输。问这种赌局公平吗？

咋一看，同时掷出两个6来的可能性是：1/6 * 1/6 = 1/36，连掷18次，那么总的概率就是：1/36 * 18 = 1/2，这样看来，此赌局是公平的。

现在我们还一种思路，上面我们考虑的是参赌者赢的概率，现在我们考虑一下庄家赢的概率。因为：参赌者赢的概率 = 1 - 庄家赢的概率。如果庄家要赢，那么也就是说连续18次都没有掷出两个6来，每一次没掷出两个6的概率是：(1 - 1/36)，那么连续18次都没掷出来的概率就是：(1 - 1/36) ^ 18，可以把这个式子用麦克劳仑公式展开为：1 - 1/36 * 18 + O() = 1/2 + O() (后面是一个正的高阶无穷小），因此，庄家赢的概率更大一些。

那么怎么解释最先一次计算中的错误呢？倒底是哪儿算错了呢？其实在第一次计算中，犯了一个很隐蔽的问题。我们用1/36 * 18，也就是认为，每次概率都是1/36，其实并不是这样的。考虑一下，为什么我们会掷第二次？是因为第一次没有掷出两个6来，也就是说，如果第二次掷出两个6的概率是1/36，那么第一次的掷出两个6个概率就是0（也即第一次没有可能掷出两个6来，不然就不会再掷第二次了），但是，我们再计算的时候却用的是乘法，也就是说我们认为第二次掷出两个6的概率是1/36时，第一次的概率还是1/36，这就计算多了。

所以，如果我们要按参赌者赢的概率来算的话，那么应当这样计算：参赌者赢的概率 = 第一次掷出两个6来的概率 + 第一次未掷出两个6来而第二次掷出两个6来的概率 + 第一次未掷出来第二次也未掷出来第三次掷出两个6来的概率 + …… = 1/36 + 35/36 * 1/36 + 35/36 * 35/36 * 1/36 + ……

很明显，按庄家赢的概率来算要简单得多。对于一个问题，如果都能从两个方面考虑并比较一下从两方面计算的结果，定能发现其中隐藏着的不少问题。